云泽省的数学竞赛队伍在老孟的带领下开始返航。
路上遇到了一群来自其他省的选手们。
“呜呜呜，郭老师，我不配去清北……”
“老郭你说得对，我只配上江城这种二流的垃圾学校，我回去就改志愿。”
……
这似曾相识的对话。
怎么说好呢？
只能说，博苏克-乌拉姆定理表明，任何一个、嗯，任何一个从n维球面到欧几里得n维空间的连续函数，都一定把某一对对蹠点映射到同一个点……
这个映射定理应用到人生也是一样的啊！
伊诚在内心发出一声感叹。
换句话说，幸福的人生各有各的幸福。
不幸的人生总是相似。
……
回到酒店之后，孟老师根据选手们的回忆，记录题目，并且为大家进行复盘。
……
第二天，二试开始。
从8点半到12点半。
时间依旧是4个半小时。
每题依然是21分。
考场内纸笔沙沙作响。
就像是下雨一样。
只不过这种润物细无声式的安静，比真实的战场更加可怕。
在伊诚这个考场内，40个顶尖的大脑进入了心流模式。
第一题送分题：
证明：当素数a大于等于7时，a^4-1能被240整除。
题目非常简单。
是个参加奥数比赛的学生都会。
一般情况下都会照顾选手们的自尊，所以题目不会出得太难。
这题确实是送分题。
整除相关的数论理论就那么多。
伊诚只瞟了一眼就知道这题该用费马小定理。
其他人不可能不知道。
伊诚不指望靠它拉分，只希望后面两道题能难一些。
最起码不要低于昨天切蛋糕的水准。
费马这个人举世闻名，因为他在读丢番图这本书的时候，在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”
这就是非常有名的费马大定理，从1637年开始，一直到1986年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯完成了最后的证明。
也因为费马皮了那么一下，之后出版的数学书后面都会留出一页空白，防止别人有借口说写不下。
费马是一个改变了数学史和数学教材制作的人。
但是，很多人其实不怎么熟悉费马小定理。
或者说不是从事数学专业的人很少听说过费马小定理。
这个东西是跟欧拉定理、中国的孙子定理和威尔逊定理一起并成为数论四大定理的可怕存在。
所以，费马小定理讲述了一个什么事情呢？
它说：
如果^（dp）
……
那么这题的证明就非常简单了。
伊诚不假思索，提笔写到——
证：
素数a大于等于7，a是奇数。
又a^4-1=（^2+1）
且……
通过费马小定理有：
（3，a）=1
（5，a）=1
所以……
最后得证：
240^4-1)
……
花了10分钟的时间，伊诚证明完第一题，开始攻略第二题。
这题有两问：
【假设你生活在13世纪的罗马，你手上有10个整数克重的砝码和一个天平。
现在国王要你让测量出他身上的一件东西。
这件物品的重量在1到88克之间。
1、你是否能做到？甚至少了任何一个砝码也能做到这一点？
2、加入砝码数量增加到12个，其中可以有相同重量的砝码，用天平量出国王给你的一件物品。
这件物品在1-59克之间。
你是否能做到，甚至少了任何两个砝码也能做到这一点？】
伊诚看完了题目，心中至少有4种不同的证明方式。
但是这题有点奇怪的地方在于——
它规定了时代背景。
你生活在13世纪，并且是欧洲。
这个时期的欧洲数学还比较落后，它刚从衰落阶段开始复苏。
所以伊诚能用来证明题目的方法，也只能是这个时期以前的。
他先尝试对题目进行拆解——
取n个砝码，记第i个砝码的重量为fi
对于重量为w的物体，可以用n个砝码测出它的重量。
当n=1时，f3=f2+f1=2
于是，f3-1=1，w=1时，显然可以测出。
然后再讨论n和n+1时的情况……
通过归纳假设……
可以得到第1问的证明。
在这里，通过多次枚举之后，伊诚发现了一些规律——
真是美丽的数字关系。
如此美丽的数字关系，只有一种东西可以解释：
斐波那契数列。
斐波那契是13世纪初的数学家，运用它的理论不会违背这个时代背景的原则。
所以，当发现规律为斐波那契数列之后，对于第2问就简单得多了。
伊诚提笔写到——
构造广义斐波那契数列：
g((n-3)(n大于等于4）。
g(1)=g(2)=g(3)=1.
用归纳假设，可以说明对于这样的n个砝码，即使任意去掉其中的两个，仍然能称出重量1到g（n+1）-1的物体。
而g（13）=60.
所以第二问得证。
可以找到满足题意的12个砝码称量1-59范围内的物体